Прямая может принадлежать плоскости , быть ей параллельной или пересекать плоскость. Прямая принадлежит плоскости, если две точки, принадлежащие прямой и плоскости, имеют одинаковые отметки . Следствие, вытекающее из сказанного: точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой, лежащей в этой плоскости.

Прямая, пересекающая плоскость. Чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью, необходимо (рис. 3.28):

1) через заданную прямую m провести вспомогательную плоскость Т ;

2) построить линию n пересечения заданной плоскости Σ с вспомогательной плоскостью Т;

3) отметить точку пересечения R, заданной прямой m с линией пересечения n.

Рассмотрим задачу (рис. 3.29).Прямая m задана на плане точкой А 6 и углом наклона 35°. Через эту прямую проведена вспомогательная вертикальная плоскость Т, которая пересекает плоскость Σ по линии n (В 2 С 3 ). Таким образом, переходят от взаимного положения прямой и плоскости к взаимному положению двух прямых, лежащих в одной вертикальной плоскости. Такая задача решается построением профилей этих прямых. Пересечение прямых m и n на профиле определяет искомую точку R . Высотную отметку точки R определяют по шкале вертикальных масштабов.

Прямая, перпендикулярная плоскости. Прямая линия перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к любым двум пересекающимся прямым этой плоскости. На рис 3.30 изображена прямая m , перпендикулярная к плоскости Σ и пересекающая ее в точке А. На плане проекции прямой m и горизонтали плоскости взаимно перпендикулярны (прямой угол, одна сторона которого параллельна плоскости проекций, проецируется без искажения. Обе прямые лежат в одной вертикальной плоскости, следовательно заложения у таких прямых обратны по величине друг другу: l m = l /l u . Но l uΣ = l Σ , тогда l m = l / l Σ , то есть заложение прямой m обратно пропорционально заложению плоскости. Падения у прямой и плоскости направлены в разные стороны.

3.4. Проекции с числовыми отметками. Поверхности

3.4.1.Многогранники и кривые поверхности. Топографическая поверхность

В природе многие вещества имеют кристаллическое строение в виде многогранников. Многогранником называют совокупность плоских многоугольников, не лежащих в одной и той же плоскости, где каждая сторона одного из них является одновременно стороной другого. При изображении многогранника достаточно указать проекции его вершин, соединив их в определенном порядке прямыми линиями - проекциями ребер. При этом на чертеже необходимо указывать видимые и невидимые ребра. На рис. 3.31 изображены призма и пирамида, а также нахождение отметок точек, принадлежащих данным поверхностям.

Особой группой выпуклых многоугольников является группа правильных многоугольников, у которых все грани - равные между собой правильные многоугольники и все многоугольные углы равны. Существует пять видов правильных многоугольников.

Тетраэдр - правильный четырехугольник, ограниченный равносторонними треугольниками, имеет 4 вершины и 6 ребер (рис. 3.32 а).

Гексаэдр - правильный шестигранник (куб) - 8 вершин, 12 ребер (рис. 3.32б).

Октаэдр - правильный восьмигранник, ограниченный восемью равносторонними треугольниками - 6 вершин, 12 ребер (рис. 3.32в).

Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, ограниченный двенадцатью правильными пятиугольниками, соединенными по три около каждой вершины.

Имеет 20 вершин и 30 ребер (рис.3.32 г).

Икосаэдр - правильный двадцатигранник, ограниченный двадцатью равносторонними треугольниками, соединенными по пяти около каждой вершины.12 вершин и 30 ребер (рис. 3.32 д).

При построении точки, лежащей на грани многогранника, необходимо провести прямую, принадлежащую этой грани и на ее проекции отметить проекцию точки.

Конические поверхности образуются перемещением прямолинейной образующей по криволинейной направляющей так, что во всех положениях образующая проходит через неподвижную точку -вершину поверхности. Конические поверхности общего вида на плане изображают направляющей горизонталью и вершиной. На рис. 3.33 показано нахождение отметки точки на поверхности конической поверхности.

Прямой круговой конус изображается серией концентрических окружностей, проведенных через равные интервалы (рис.3.34а). Эллиптический конус с круговым основанием - серией эксцентрических окружностей (рис. 3.34 б)

Сферические поверхности. Сферическую поверхность относят к поверхностям вращения. Она образуется вращением окружности вокруг ее диаметра. На плане сферическая поверхность определена центром К и проекцией одной из ее горизонталей (экватором сферы) (рис. 3.35).

Топографическая поверхность. Топографическую поверхность относят к геометрически неправильным поверхностям, так как она не имеет геометрического закона образования. Для характеристики поверхности определяют положение ее характерных точек относительно плоскости проекций. На рис. 3.3 б а дан пример участка топографической поверхности, на котором показаны проекции ее отдельных точек. Такой план хотя и дает возможность составить представление о форме изображаемой поверхности, однако отличается малой наглядностью. Чтобы придать чертежу большую наглядность и облегчить тем самым его чтение, проекции точек с одинаковыми отметками соединяют плавными кривыми линиями, которые называют горизонталями (изолиниями) (рис. 3.36 б).

Горизонтали топографической поверхности иногда определяют и как линии пересечения этой поверхности с горизонтальными плоскостями, отстоящими друг от друга на одно и то же расстояние (рис. 3.37). Разность отметок у двух смежных горизонталей называют высотой сечения.

Изображение топографической поверхности тем точнее, чем меньше разность отметок у двух смежных горизонталей. На планах горизонтали замыкаются в пределах чертежа или вне его. На более крутых склонах поверхности проекции горизонталей сближаются, на пологих – их проекции расходятся.

Кратчайшее расстояние между проекциями двух смежных горизонталей на плане называют заложением. На рис. 3.38 через точку А топографической поверхности проведено несколько отрезков прямых АВ, АС и АD . Все они имеют разные углы падения. Наибольший угол падения имеет отрезок АС , заложение которого имеет минимальное значение. Поэтому он и будет являться проекцией линии падения поверхности в данном месте.

На рис. 3.39 приводится пример построения проекции линии падения через заданную точку А . Из точки А 100 , как из центра, проводят дугу окружности, касающуюся ближайшей горизонтали в точке В 90 . Точка В 90 , лежащая на горизонтали h 90 , будет принадлежать линии падения. Из точки В 90 проводят дугу, касающуюся следующей горизонтали в точке С 80 , и т. д. Из чертежа видно, что линией падения топографической поверхности является ломаная линия, каждое звено которой перпендикулярно к горизонтали, проходящей через нижний, имеющий меньшую отметку, конец звена.

3.4.2.Пересечение конической поверхности плоскостью

Если секущая плоскость проходит через вершину конической поверхности, то она пересекает ее по прямым линиям-образующим поверхности. Во всех остальных случаях линия сечения будет плоской кривой: окружностью, эллипсом и т.д. Рассмотрим случай пересечения конической поверхности плоскостью.

Пример 1. Построить проекцию линии пересечения кругового конуса Φ(h о , S 5 ) с плоскостью Ω, параллельной образующей конической поверхности.

Коническая поверхность при заданном расположении плоскости пересекается по параболе. Проинтерполировав образующую t строим горизонтали кругового конуса - концентрические окружности с центром S 5 . Затем определяем точки пересечения одноименных горизонталей плоскости и конуса (рис. 3.40).

3.4.3. Пересечение топографической поверхности с плоскостью и прямой линией

Случай пересечения топографической поверхности с плоскостью наиболее часто встречается в решении геологических задач. На рис. 3.41 дан пример построения пересечения топографической поверхности с плоскостью Σ. Искомую кривую m определяют точками пересечения одноименных горизонталей плоскости и топографической поверхности.

На рис. 3.42 дан пример построения истинного вида топографической поверхности с вертикальной плоскостью Σ. Искомую линию m определяют точками А, В, С … пересечения горизонталей топографической поверхности с секущей плоскостью Σ. На плане проекция кривой вырождается в прямую линию, совпадающую с проекцией плоскости: m ≡ Σ. Профиль кривой m построен с учетом расположения на плане проекций ее точек, а также их высотных отметок.

3.4.4. Поверхность равного уклона

Поверхность равного уклона представляет собой линейчатую поверхность, все прямолинейные образующие которой составляют с горизонтальной плоскостью постоянный угол. Получить такую поверхность можно перемещением прямого кругового конуса с осью, перпендикулярной плоскости плана, так, что бы его вершина скользила по некоторой направляющей, а ось в любом положении оставалась вертикальной.

На рис. 3.43 изображена поверхность равного уклона (i=1/2), направляющей которой служит пространственная кривая A, B, C, D.

Градуирования плоскости. В качестве примеров рассмотрим плоскости откосов дорожного полотна.

Пример 1. Продольный уклон дорожного полотна i=0, уклон откоса насыпи i н =1:1,5, (рис. 3.44а). Требуется провести горизонтали через 1м. Решение сводится к следующему. Проводим масштаб уклона плоскости перпендикулярно бровке дорожного полотна, отмечаем точки на расстоянии, равном интервалу 1,5м, взятом с линейного масштаба, и определяем отметки 49, 48 и 47. Через полученные точки проводим горизонтали откоса параллельно бровке дороги.

Пример 2. Продольный уклон дороги i≠0, уклон откоса насыпи i н =1:1,5, (рис.3.44б). Плоскость дорожного полотна градуируется. Откос дорожного полотна градуируется следующим образом. В точке с вершиной 50,00 (или другой точке) помещаем вершину конуса, описываем окружность радиусом, равным интервалу откоса насыпи (в нашем примере l = 1,5м). Отметка этой горизонтали конуса будет на единицу меньше отметки вершины, т.е. 49м. Проводим ряд окружностей, получаем отметки горизонталей 48, 47, касательно к которым из точек бровки с отметками 49, 48, 47 проводим горизонтали откоса насыпи.

Градуирование поверхностей.

Пример 3. Если продольный уклон дороги i=0 и уклон откоса насыпи i н =1:1,5, то горизонтали откосов проводят через точки масштаба уклона, интервал которого равен интервалу откосов насыпи, (рис.3.45а). Расстояние между двумя проекциями смежных горизонталей в направлении общей нормы (масштаб уклона) всюду одинаково.

Пример 4. Если продольный уклон дороги i≠0,а уклон откоса насыпи i н =1:1,5, (рис.3.45б) то горизонтали строят аналогично, за исключением того, что горизонтали откоса проводят не прямыми линиями, а кривыми.

3.4.5. Определение линии пределов земляных работ

Так как большинство грунтов неспособно сохранять вертикальные стенки, приходится строить откосы (искусственные сооружения). Уклон, придаваемый откосом, зависит от грунта.

Чтобы участку поверхности земли придать вид плоскости с определённым уклоном, нужно знать линию пределов земляных и нулевых работ. Эта линия, ограничивающая планируемый участок, представляется линиями пересечения откосов насыпей и выемок с заданной топографической поверхностью.

Так как каждая поверхность (в том числе и плоская) изображается при помощи горизонталей, то линию пересечения поверхностей строят как множество точек пересечения горизонталей с одинаковыми отметками. Рассмотрим примеры.

Пример 1. На рис. 3.46 дано земляное сооружение, имеющее форму усеченной четырехугольной пирамиды, стоящее на плоскости Н . Верхнее основание АВСD пирамиды имеет отметку 4м и размеры сторон 2×2,5 м . Боковые грани (откосы насыпи) имеет уклон 2:1 и 1:1, направление которых показано стрелками.

Нужно построить линию пересечения откосов сооружения с плоскостью Н и между собой, а также построить, продольный профиль по оси симметрии.

Вначале строят диаграмму уклонов, интервалов и масштабов заложений, заданных откосов. Перпендикулярно каждой стороне площадки вычерчиваются масштабы уклонов откосов с заданными интервалами, после чего проекции горизонталей с одинаковыми отметками смежных граней находятся линии пересечения откосов, которые являются проекциями боковых ребер данной пирамиды.

Нижнее основание пирамиды совпадает с нулевыми горизонталями откосов. Если данное земляное сооружение пересечь вертикальной плоскостью Q , в сечении получится ломаная линия – продольный профиль сооружения.

Пример 2 . Построить линию пересечения откосов котлована с плоским косогором и между собой. Дно (АВСD ) котлована представляет собой прямоугольную площадку с отметкой 10м и размерами 3×4м. Ось площадки составляет с линией юг – север угол 5°. Откосы выемок имеют одинаковые уклоны 2:1 (рис. 3.47).

Линия нулевых работ устанавливается по плану местности. Её строят по точкам пересечения между собой одноименных проекций горизонталей рассматриваемых поверхностей. По точкам пересечения горизонталей откосов и топографической поверхности с одинаковыми отметками находят линию пересечения откосов, которые являются проекциями боковых ребер данного котлована.

В данном случае к дну котлована примыкают боковые откосы выемок. Линия abcd – искомая линия пересечения. Aa, Bb, Сс, Dd – ребра котлована, линии пересечения откосов между собой.

4. Вопросы для самоконтроля и задачи для самостоятельной работы по теме «Прямоугольные проекции»

Точка

4.1.1. Сущность метода проекций.

4.1.2. Что такое проекция точки?

4.1.3. Как называются и обозначаются плоскости проекций?

4.1.4. Что такое линии проекционной связи на чертеже и как они располагаются на чертеже по отношению к осям проекций?

4.1.5. Как построить третью (профильную) проекцию точки?

4.1.6. Построить на трехкартинном чертеже три проекции точек А, В, С, записать их координаты и заполнить таблицу.

4.1.7. Построить недостающие оси проекций, х А =25, y A =20. Построить профильную проекцию точки А.

4.1.8. Построить три проекции точек по их координатам: А(25,20,15), В(20,25,0) и С(35,0,10). Указать положение точек по отношению к плоскостям и осям проекций. Какая из точек ближе к плоскости П 3 ?

4.1.9. Материальные точки А и В начинают одновременно падать. В каком положении окажется точка В, когда точка А коснется земли? Определить видимость точек. Построить точки в новом положении.

4.1.10. Построить три проекции точки А, если точка лежит в плоскости П 3 , а расстояние от нее до плоскости П 1 равно 20 мм, до плоскости П 2 – 30 мм. Записать координаты точки.

Прямая

4.2.1. Чем может быть задана прямая линия на чертеже?

4.2.2. Какая прямая называется прямой общего положения?

4.2.3. Какое положение может занимать прямая относительно плоскостей проекций?

4.2.4. В каком случае проекция прямой обращается в точку?

4.2.5. Что характерно для комплексного чертежа прямой уровня?

4.2.6. Определить взаимное положение данных прямых.

a … b a … b a … b

4.2.7. Построить проекции отрезка прямой АВ длиной 20 мм, параллельного плоскостям: а) П 2 ; б) П 1 ; в) оси Ох. Обозначить углы наклона отрезка к плоскостям проекций.

4.2.8. Построить проекции отрезка АВ по координатам его концов: А(30,10,10), В(10,15,30). Построить проекции точки С, делящей отрезок в отношении АС:СВ = 1:2.

4.2.9. Определить и записать количество ребер данного многогранника и положение их относительно плоскостей проекций.

4.2.10. Через точку А провести горизонталь и фронталь, пересекающие прямую m.

4.2.11. Определить расстояние между прямой b и точкой А

4.2.12. Построить проекции отрезка АВ длиной 20 мм, проходящего через точку А и перпендикулярного плоскости а) П 2 ; б) П 1 ; в) П 3 .

БИЛЕТ 16.

Свойства пирамиды, у которой двугранные углы равны.

А)Если боковые грани пирамиды с её основанием образуют равные двугранные углы, то все высоты боковых граней пирамиды равны (у правильной пирамиды это апофемы), и вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в многоугольник основания.

Б) У пирамиды могут быть равные двугранные углы при основании тогда, когда в многоугольник основания можно вписать окружность.

Призма. Определение. Элементы. Виды призм.

Призма- это многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, находящимися в параллельных плоскостях, а остальные грани - параллелограммами.

Грани, которые находятся в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы, а остальные грани - боковыми гранями призмы.

В зависимости от основания призмы бывают:

1) треугольными

2) четырёхугольными

3) шестиугольными

Призма с боковыми рёбрами, перпендикулярными её основаниям, называется прямой призмой.

Прямая призма называется правильной, если её основания - правильные многоугольники.

БИЛЕТ 17.

Свойство диагоналей прямоугольного параллелепипеда.

Все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

В прямоугольном параллелепипеде все диагонали равны.

В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений.

Проведя диагональ основания АС, получим треугольники АС 1 С и АСВ. Оба они прямоугольные: первый потому, что параллелепипед прямой и, следовательно, ребро СС 1 перпендикулярно к основанию; второй потому, что параллелепипед прямоугольный и, значит, в основании его лежит прямоугольник. Из этих треугольников находим:

АС 1 2 = АС 2 + СС 1 2 и АС 2 = АВ 2 + ВС 2

Следовательно, AC 1 2 = АВ 2 + ВС 2 + СС 1 2 = АВ 2 + AD 2 + АА 1 2 .

Случаи взаимного расположения двух плоскостей.

СВОЙСТВО 1 :

Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.

СВОЙСТВО 2:

Отрезки параллельных прямых, заключённых между двумя параллельными плоскостями, равны по длине.

СВОЙСТВО 3

Через каждую точку пространства, не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную этой плоскости, и притом только одну.

БИЛЕТ 18.

Свойство противоположных граней параллелепипеда.

Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

Например, плоскости параллелограммов АА 1 В 1 В и DD 1 C 1 C параллельны, так как пересекающиеся прямые АВ и АА 1 плоскости АА 1 В 1 соответственно параллельны двум пересекающимся прямым DC и DD 1 плоскости DD 1 C 1 . Параллелограммы АА 1 В 1 В и DD 1 C 1 C равны (т. е. их можно совместить наложением), так как равны стороны АВ и DС, АА 1 и DD 1 , и равны углы А­ 1 АВ и D 1 DC.

Площади поверхностей призмы, пирамиды, правильной пирамиды.

Правильная пирамида: Sполн.пов. =3SASB+Sосн.

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве допускает три случая. Прямая и плоскость могут пересекаться в одной точке. Они могут быть параллельны. Наконец, прямая может лежать в плоскости. Выяснение конкретной ситуации для прямой и плоскости зависит от способа их описания.

Предположим, что плоскость π задана общим уравнением π: Ax + By + Cz + D = 0, а прямая L - каноническими уравнениями (x - x 0)/l = (y - y 0)/m = (z - z 0)/n. Уравнения прямой дают координаты точки M 0 (x 0 ; у 0 ; z 0) на прямой и координаты направляющего вектора s = {l; m; n} этой прямой, а уравнение плоскости - координаты ее нормального вектора n = {A; B; C}.

Если прямая L и плоскость π пересекаются, то направляющий вектор s прямой не параллелен плоскости π. Значит, нормальный вектор n плоскости не ортогонален вектору s, т.е. их скалярное произведение не равно нулю. Через коэффициенты уравнений прямой и плоскости это условие записывается в виде неравенства A1 + Bm + Cn ≠ 0.

Если прямая и плоскость параллельны или прямая лежит в плоскости, то выполняется условие s ⊥ n, которое в координатах сводится к равенству Al + Bm + Cn = 0. Чтобы разделить случаи "параллельны" и "прямая принадлежит плоскости ", нужно проверить, принадлежит ли точка прямой данной плоскости.

Таким образом, все три случая взаимного расположения прямой и плоскости разделяются путем проверки соответствующих условий:

Если прямая L задана своими общими уравнениями:

то проанализировать взаимное расположение прямой и плоскости π можно следующим образом. Из общих уравнений прямой и общего уравнения плоскости составим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Если эта система не имеет решений, то прямая параллельна плоскости. Если она имеет единственное решение, то прямая и плоскость пересекаются в единственной точке. Последнее равносильно тому, что определитель системы (6.6)

отличен от нуля. Наконец, если система (6.6) имеет бесконечно много решений, то прямая принадлежит плоскости.

Угол между прямой и плоскостью. Угол φ между прямой L: (x - x 0)/l = (y - y 0)/m = (z - z 0)/n и плоскостью π: Ax + By + Cz + D = 0 находится в пределах от 0° (в случае параллельности) до 90° (в случае перпендикулярности прямой и плоскости). Синус этого угла равен |cosψ|, где ψ - угол между направляющим вектором прямой s и нормальным вектором n плоскости (рис. 6.4). Вычислив косинус угла между двумя векторами через их координаты (см. (2.16)), получим

Условие перпендикулярности прямой и плоскости эквивалентно тому, что нормальный вектор плоскости и направляющий вектор прямой коллинеарны. Через координаты векторов это условие записывается в виде двойного равенства

Прямая может принадлежать и не принадлежать плоскости. Она принадлежит плоскости, если хотя бы две точки ее лежат на плоскости. На рисунке 93 показана плоскость Sum (axb). Прямая l принадлежит плоскости Sum, так как ее точки 1 и 2 принадлежат этой плоскости.

Если прямая не принадлежит плоскости, она может быть параллельной ей или пересекать ее.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна другой прямой, лежащей в этой плоскости. На рисунке 93 прямая m || Sum , так как она параллельна прямой l , принадлежащей этой плоскости.

Прямая может пересекать плоскость под различными углами и, в частности, быть перпендикулярной ей. Построение линий пересечения прямой с плоскостью приведено в §61.

Рисунок 93 - Прямая, принадлежащая плоскости

Точка по отношению к плоскости может быть расположена следующим образом: принадлежать или не принадлежать ей. Точка принадлежит плоскости, если она расположена на прямой, расположенной в этой плоскости. На рисунке 94 показан комплексный чертеж плоскости Sum, заданной двумя параллельными прямыми l и п. В плоскости расположена линия m. Точка A лежит в плоскости Sum, так как она лежит на прямой m. Точка В не принадлежит плоскости, так как ее вторая проекция не лежит на соответствующих проекциях прямой.

Рисунок 94 - Комплексный чертеж плоскости, заданной двумя параллельными прямыми

Коническая и цилиндрическая поверхности

К коническим относятся поверхности, образованные перемещением прямолинейной образующей l по криволинейной направляющей m. Особенностью образования конической поверхности является то, что при этом одна точка образующей всегда неподвижна. Эта точка является вершиной конической поверхности (рисунок 95, а). Определитель конической поверхности включает вершину S и направляющую m, при этом l "~S; l "^ m.

К цилиндрическим относятся поверхности, образованные прямой образующей /, перемещающейся по криволинейной направляющей т параллельно заданному направлению S (рисунок 95, б). Цилиндрическую поверхность можно рассматривать как частный случай конической поверхности с бесконечно удаленной вершиной S.

Определитель цилиндрической поверхности состоит из направляющей т и направления S, образующих l , при этом l" || S; l" ^ m.

Если образующие цилиндрической поверхности перпендикулярны плоскости проекций, то такую поверхность называют проецирующей. На рисунке 95, в показана горизонтально проецирующая цилиндрическая поверхность.

На цилиндрической и конической поверхностях заданные точки строят с помощью образующих, проходящих через них. Линии на поверхностях, например линия а на рисунок 95, в или горизонтали h на рисунке 95, а, б, строятся с помощью отдельных точек, принадлежащих этим линиям.

Рисунок 95 - Коническая и цилиндрическая поверхности

Торсовые поверхности

Торсовой называется поверхность, образованная прямолинейной образующей l , касающейся при своем движении во всех своих положениях некоторой пространственной кривой т, называемой ребром возврата (рисунок 96). Ребро возврата полностью задает торс и является геометрической частью определителя поверхности. Алгоритмической частью служит указание касательности образующих к ребру возврата.

Коническая поверхность является частным случаем торса, у которого ребро возврата т выродилось в точку S - вершину конической поверхности. Цилиндрическая поверхность - частный случай торса, у которого ребро возврата - точка в бесконечности.

Рисунок 96 – Торсовая поверхность

Гранные поверхности

К гранным относятся поверхности, образованные перемещением прямолинейной образующей l по ломаной направляющей m. При этом если одна точка S образующей неподвижна, создается пирамидальная поверхность (рисунок 97), если образующая при перемещении параллельна заданному направлению S, то создается призматическая поверхность (рисунок 98).

Элементами гранных поверхностей являются: вершина S (у призматической поверхности она находится в бесконечности), грань (часть плоскости, ограниченная одним участком направляющей m и крайними относительно него положениями образующей l ) и ребро (линия пересечения смежных граней).

Определитель пирамидальной поверхности включает в себя вершину S, через которую проходят образующие и направляющие: l" ~ S; l ^ т.

Определитель призматической поверхности, кроме направляющей т, содержит направление S, которому параллельны все образующие l поверхности: l||S; l^ т.

Рисунок 97 - Пирамидальная поверхность

Рисунок 98 - Призматическая поверхность

Замкнутые гранные поверхности, образованные некоторым числом (не менее четырех) граней, называются многогранниками. Из числа многогранников выделяют группу правильных многогранников, у которых все грани правильные и конгруэнтные многоугольники, а многогранные углы при вершинах выпуклые и содержат одинаковое число граней. Например: гексаэдр - куб (рисунок 99, а), тетраэдр - правильный четырехугольник (рисунок 99, 6) октаэдр - многогранник (рисунок 99, в). Форму различных многогранников имеют кристаллы.

Рисунок 99 - Многогранники

Пирамида - многогранник, в основании которого лежит произвольный многоугольник, а боковые грани - треугольники с общей вершиной S.

На комплексном чертеже пирамида задается проекциями ее вершин и ребер с учетом их видимости. Видимость ребра определяется с помощью конкурирующих точек (рисунок 100).

Рисунок 100 – Определение видимости ребра с помощью конкурирующих точек

Призма - многогранник, у которого основание - два одинаковых и взаимно параллельных многоугольника, а боковые грани - параллелограммы. Если ребра призмы перпендикулярны плоскости основания, такую призму называют прямой. Если у призмы ребра перпендикулярны какой-либо плоскости проекций, то боковую поверхность ее называют проецирующей. На рисунке 101 дан комплексный чертеж прямой четырехугольной призмы с горизонтально проецирующей поверхностью.

Рисунок 101 - Комплексный чертеж прямой четырехугольной призмы с горизонтально проецирующей поверхностью

При работе с комплексным чертежом многогранника приходится строить на его поверхности линии, а так как линия есть совокупность точек, то необходимо уметь строить точки на поверхности.

Любую точку на гранной поверхности можно построить с помощью образующей, проходящей через эту точку. На рисунке 100 в грани ACS построена точка М с помощью образующей S-5.

Винтовые поверхности

К винтовым относятся поверхности, создаваемые при винтовом движении прямолинейной образующей. Линейчатые винтовые поверхности называют геликоидами.

Прямой геликоид образуется движением прямолинейной образующей i по двум направляющим: винтовой линии т и ее оси i ; при этом образующая l пересекает винтовую ось под прямым углом (рисунок 102, а). Прямой геликоид используется при создании винтовых лестниц, шнеков, а также силовых резьбах, в станках.

Наклонный геликоид образуется движением образующей по винтовой направляющей т и ее оси i так, что образующая l пересекает ось i под постоянным углом φ, отличным от прямого, т. е. в любом положении образующая l параллельна одной из образующих направляющего конуса с углом при вершине, равным 2φ (рисунок 102, б). Наклонные геликоиды ограничивают поверхности витков резьбы.

Рисунок 102 - Геликоиды

Поверхности вращения

К поверхностям вращения относятся поверхности, образующиеся вращением линии l вокруг прямой i , представляющей собой ось вращения. Они могут быть линейчатыми, например конус или цилиндр вращения, и нелинейчатыми или криволинейными, например сфера. Определитель поверхности вращения включает образующую l и ось i . Каждая точка образующей при вращении описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси вращения. Такие окружности поверхности вращения называются параллелями. Наибольшую из параллелей называют экватором. Экватор.определяет горизонтальный очерк поверхности, если i _|_ П 1 . В этом случае параллелями являются горизонтали hэтой поверхности.

Кривые поверхности вращения, образующиеся в результате пересечения поверхности плоскостями, проходящими через ось вращения, называются меридианами. Все меридианы одной поверхности конгруэнтны. Фронтальный меридиан называют главным меридианом; он определяет фронтальный очерк поверхности вращения. Профильный меридиан определяет профильный очерк поверхности вращения.

Строить точку на криволинейных поверхностях вращения удобнее всего с помощью параллелей поверхности. На рисунке 103 точка М построена на параллели h 4 .

Рисунок 103 – Построение точки на криволинейной поверхности

Поверхности вращения нашли самое широкое применение в технике. Они ограничивают поверхности большинства машиностроительных деталей.

Коническая поверхность вращения образуется вращением прямой i вокруг пересекающейся с ней прямой - оси i (рисунок 104, а ). Точка М на поверхности построена с помощью образующей l и параллели h. Эту поверхность называют еще конусом вращения или прямым круговым конусом.

Цилиндрическая поверхность вращения образуется вращением прямой l вокруг параллельной ей оси i (рисунок 104, б). Эту поверхность называют еще цилиндром или прямым круговым цилиндром.

Сфера, образуется вращением окружности вокруг ее диаметра (рисунок 104, в ). Точка A на поверхности сферы принадлежит главному меридиану f, точка В - экватору h, а точка М построена на вспомогательной параллели h".

Рисунок 104 - Образование поверхностей вращения

Тор образуется вращением окружности или ее дуги вокруг оси, лежащей в плоскости окружности. Если ось расположена в пределах образующейся окружности, то такой тор называется закрытым (рисунок 105, а). Если ось вращения находится вне окружности, то такой тор называется открытым (рисунок 105, б). Открытый тор называется еще кольцом.

Рисунок 105 – Образование тора

Поверхности вращения могут быть образованы и другими кривыми второго порядка. Эллипсоид вращения (рисунок 106, а) образуется вращением эллипса вокруг одной из его осей; параболоид вращения (рисунок 106, б ) - вращением параболы вокруг ее оси; гиперболоид вращения однополостный (рисунок 106, в ) образуется вращением гиперболы вокруг мнимой оси, а двуполостный (рисунок 106, г ) - вращением гиперболы вокруг действительной оси.

Рисунок 106 – Образование поверхностей вращения кривыми второго порядка

В общем случае поверхности изображаются не ограниченными в направлении распространения образующих линий (см рисунки 97, 98). Для решения конкретных задач и получения геометрических фигур ограничиваются плоскостями обреза. Например, чтобы получить круговой цилиндр, необходимо ограничить участок цилиндрической поверхности плоскостями обреза (см рисунок 104, б). В результате получим его верхнее и нижнее основания. Если плоскости обреза перпендикулярны оси вращения, цилиндр будет прямым, если нет - цилиндр будет наклонным.

Чтобы получить круговой конус (см рисунок 104, а ), необходимо выполнить обрез по вершине и за пределами ее. Если плоскость обреза основания цилиндра будет перпендикулярна оси вращения - конус будет прямой, если нет - наклонный. Если обе плоскости обреза не проходят через вершину - конус получим усеченным.

С помощью плоскости обреза можно получить призму и пирамиду. Например, шестигранная пирамида будет прямой, если все ее ребра имеют одинаковый наклон к плоскости обреза. В других случаях она будет наклонной. Если она выполнена с помощью плоскостей обреза и ни одна из них не проходит через вершину - пирамида усеченная.

Призму (см рисунок 101) можно получить, ограничив участок призматической поверхности двумя плоскостями обреза. Если плоскость обреза перпендикулярна ребрам, например восьмигранной призмы, она прямая, если не перпендикулярна - наклонная.

Выбирая соответствующее положение плоскостей обреза, можно получать различные формы геометрических фигур в зависимости от условий решаемой задачи.

В планиметрии плоскость является одной из основных фигур, поэтому, очень важно иметь ясное представление о ней. Эта статья создана с целью раскрытия этой темы. Сначала дано понятие плоскости, ее графическое представление и показаны обозначения плоскостей. Далее плоскость рассматривается вместе с точкой, прямой или другой плоскостью, при этом возникают варианты из взаимного расположения в пространстве. Во втором и третьем и четвертом пункте статьи как раз разобраны все варианты взаимного расположения двух плоскостей, прямой и плоскости, а также точки и плоскости, приведены основные аксиомы и графические иллюстрации. В заключении даны основные способы задания плоскости в пространстве.

Навигация по странице.

Плоскость – основные понятия, обозначения и изображение.

Простейшими и основными геометрическими фигурами в трехмерном пространстве являются точка, прямая и плоскость. Мы уже имеем представление о точке и прямой на плоскости . Если поместить плоскость, на которой изображены точки и прямые, в трехмерное пространство, то мы получим точки и прямые в пространстве. Представление о плоскости в пространстве позволяет получить, к примеру, поверхность стола или стены. Однако, стол или стена имеют конечные размеры, а плоскость простирается за их границы в бесконечность.

Точки и прямые в пространстве обозначаются также как и на плоскости – большими и маленькими латинскими буквами соответственно. Например, точки А и Q , прямые а и d . Если заданы две точки, лежащие на прямой, то прямую можно обозначить двумя буквами, соответствующими этим точкам. К примеру, прямая АВ или ВА проходит через точки А и В . Плоскости принято обозначать маленькими греческими буквами, например, плоскости , или .

При решении задач возникает необходимость изображать плоскости на чертеже. Плоскость обычно изображают в виде параллелограмма или произвольной простой замкнутой области.

Плоскость обычно рассматривается вместе с точками, прямыми или другими плоскостями, при этом возникают различные варианты их взаимного расположения. Переходим к их описанию.

Взаимное расположение плоскости и точки.

Начнем с аксиомы: в каждой плоскости имеются точки. Из нее следует первый вариант взаимного расположения плоскости и точки – точка может принадлежать плоскости. Другими словами, плоскость может проходить через точку. Для обозначения принадлежности какой-либо точки какой-либо плоскости используют символ «». Например, если плоскость проходит через точку А , то можно кратко записать .

Следует понимать, что на заданной плоскости в пространстве имеется бесконечно много точек.

Следующая аксиома показывает, сколько точек в пространстве необходимо отметить, чтобы они определяли конкретную плоскость: через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, причем только одна. Если известны три точки, лежащие в плоскости, то плоскость можно обозначить тремя буквами, соответствующими этим точкам. Например, если плоскость проходит через точки А , В и С , то ее можно обозначить АВС .

Сформулируем еще одну аксиому, которая дает второй вариант взаимного расположения плоскости и точки: имеются по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Итак, точка пространства может не принадлежать плоскости. Действительно, в силу предыдущей аксиомы через три точки пространства проходит плоскость, а четвертая точка может как лежать на этой плоскости, так и не лежать. При краткой записи используют символ «», который равносилен фразе «не принадлежит».

К примеру, если точка А не лежит в плоскости , то используют краткую запись .

Прямая и плоскость в пространстве.

Во-первых, прямая может лежать в плоскости. В этом случае, в плоскости лежат хотя бы две точки этой прямой. Это устанавливается аксиомой: если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в плоскости. Для краткой записи принадлежности некоторой прямой данной плоскости пользуются символом «». Например, запись означает, что прямая а лежит в плоскости .

Во-вторых, прямая может пересекать плоскость. При этом прямая и плоскость имеют одну единственную общую точку, которую называют точкой пересечения прямой и плоскости. При краткой записи пересечение обозначаю символом «». К примеру, запись означает, что прямая а пересекает плоскость в точке М . При пересечении плоскости некоторой прямой возникает понятие угла между прямой и плоскостью .

Отдельно стоит остановиться на прямой, которая пересекает плоскость и перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Такую прямую называют перпендикулярной к плоскости. Для краткой записи перпендикулярности используют симовл «». Для более глубокого изучения материала можете обратиться к статье перпендикулярность прямой и плоскости .

Особую значимость при решении задач, связанных с плоскостью, имеет так называемый нормальный вектор плоскости . Нормальным вектором плоскости является любой ненулевой вектор, лежащий на прямой, перпендикулярной этой плоскости.

В-третьих, прямая может быть параллельна плоскости, то есть, не иметь в ней общих точек. При краткой записи параллельности используют символ «». Например, если прямая а параллельна плоскости , то можно записать . Рекомендуем подробнее изучить этот случай, обратившись к статье параллельность прямой и плоскости .

Следует сказать, что прямая, лежащая в плоскости, делит эту плоскость на две полуплоскости. Прямая в этом случае называется границей полуплоскостей. Любые две точки одной полуплоскости лежат по одну сторону от прямой, а две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от граничной прямой.

Взаимное расположение плоскостей.

Две плоскости в пространстве могут совпадать. В этом случае они имеют, по крайней мере, три общие точки.

Две плоскости в пространстве могут пересекаться. Пересечением двух плоскостей является прямая линия, что устанавливается аксиомой: если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

В этом случае возникает понятие угла между пересекающимися плоскостями . Отдельный интерес представляет случай, когда угол между плоскостями равен девяноста градусам. Такие плоскости называют перпендикулярными. О них мы поговорили в статье перпендикулярность плоскостей .

Наконец, две плоскости в пространстве могут быть параллельными, то есть, не иметь общих точек. Рекомендуем ознакомиться со статьей параллельность плоскостей , чтобы получить полное представление об этом варианте взаимного расположения плоскостей.

Способы задания плоскости.

Сейчас мы перечислим основные способы задания конкретной плоскости в пространстве.

Во-первых, плоскость можно задать, зафиксировав три не лежащие на одной прямой точки пространства. Этот способ основан на аксиоме: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.

Если в трехмерном пространстве зафиксирована и задана плоскость с помощью указания координат трех ее различных точек, не лежащих на одной прямой, то мы можем написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки .

Два следующих способа задания плоскости являются следствием из предыдущего. Они основаны на следствиях из аксиомы о плоскости, проходящей через три точки:

• через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, притом только одна (смотрите также статью уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку);
• через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость (рекомендуем ознакомиться с материалом статьи уравнение плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые).

Четвертый способ задания плоскости в пространстве основан на определении параллельных прямых . Напомним, что две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Таким образом, указав две параллельные прямые в пространстве, мы определим единственную плоскость, в которой эти прямые лежат.

Если в трехмерном пространстве относительно прямоугольной системы координат задана плоскость указанным способом, то мы можем составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые .

В курсе средней школы на уроках геометрии доказывается следующая теорема: через фиксированную точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная к данной прямой. Таким образом, мы можем задать плоскость, если укажем точку, через которую она проходит, и прямую, перпендикулярную к ней.

Если в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат и задана плоскость указанным способом, то можно составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой .

Вместо прямой, перпендикулярной к плоскости, можно указать один из нормальных векторов этой плоскости. В этом случае есть возможность написать