Для указания взаимного расположения каких-то исследуемых объектов используются:

1. координатный луч, когда их размещение или движение происходят вдоль прямой линии по одну сторону от заданного объекта, принятого за начало отсчёта;
2. координатная прямая, когда их размещение или движение происходят вдоль прямой линии по разные стороны от заданного объекта, принятого за начало отсчёта;
3. координатная плоскость, когда их размещение или движение происходят вдоль произвольной непрямой линии.

Элементы координатной плоскости

Координатная плоскость отличается от обычной плоскости тем, что на неё наносится система координат. Примером может служить изображение любого материка с нанесёнными на него параллелями и меридианами, которые и задают систему географических координат, позволяющих находить или задавать положение любого объекта на карте.

Система координат представляет собой две взаимно пересекающиеся под прямым углом координатные прямые в точках начала отсчёта. Горизонтальную координатную прямую принято называть осью абсцисс (абсцисса с лат. яз. – отрезок). Вертикальную прямую – осью ординат (ордината с лат. яз. – выстраивание по порядку).

Аналогично, координатная прямая отличается от обычной прямой тем, что на ней выбирают какую-то точку за начало отсчёта; выбирают масштаб единичного отрезка в зависимости от того, какие расстояния предстоит изображать; положительное направление отсчёта, обозначаемое на координатной прямой стрелкой.

Положение объекта на такой плоскости обозначают точкой с двумя числами – координатами: абсциссой и ординатой.

Использование координатных плоскостей

Координатные плоскости широко используются для решения геометрических и физических задач. Причём в физике за ось абсцисс часто принимают ось времени. Тогда ось ординат задаёт координату тела на координатной прямой, располагаемой вдоль прямолинейной траектории движения тела.

Что такое координатная плоскость?

Термин «координаты» в переводе с латинского языка значит слово «упорядоченный».

Допустим, нам нужно обозначить положение точки на плоскости. Для этого мы берем 2 перпендикулярные прямые, которые называются осями координат, где Х будет осью абсцисс, У- осью ординат, а началом координат будет точка О. Образованные с помощью осей координат прямые углы, будут называться координатными углами.

Так мы подошли к определению и теперь знаем, что координатной плоскостью является плоскость с заданной системой координат.

А теперь давайте посмотрим, нумерацию координатных углов:

Теперь давайте с вами отобразим прямоугольную систему координат и отметим в ней точку M.

Далее нам нужно прочертить через точку М прямую, которая будет параллельна оси У. Теперь, смотрим, что у нас вышло. Как видим, что прямая пересекает ось Х в той точке, в которой координата будет равна −2. Данная координата является абсциссой точки M.

Теперь нам нужно прочертить через точку М прямую, которая будет параллельна оси Х.

Мы с вами видим, что эта прямая пересекает ось Х в той точке, координата которой равняется трем. Вот эта координата будет ординатой точки М.

Запись координат токи М будет выглядеть так:

В такой записи всегда на первое место ставят абсциссу, а на второе – ординату. Если рассмотреть на примере координат точки М(-2;3), то -2 выступает в роли абсциссы точки М, а ординатой этой точки будет число 3.

Из этого следует, что на координатной плоскости каждой точке М соответствует такая пара чисел, как ее абсцисса и ордината. Верным будет и утверждение наоборот, то есть, каждой такой паре чисел соответствует одна точка плоскости, для которой эти числа являются координатами.

Задание:

Координатная плоскость в жизни

Как по вашему, может ли пригодиться в повседневной жизни знания о координатной плоскости? И доводилось ли вам слышать такую фразу, как «оставьте свои координаты» или «по каким координатам вас можно найти»? И задумывались ли вы над тем, что может обозначать эти выражения?

Оказывается все очень просто и банально и это значит местонахождение того или иного объекта, по которому легко найти человека или какое-то определенное место. Можно уверенно утверждать, что системы координат необходимы в практической жизни человека повсеместно.

Такой системой координат может быть как домашний адрес, так и номер телефона, место работы и т.д.

Ведь даже при покупке билетов на поезд, вы знаете не только его номер и место назначения, но и обязательно должен быть указан номер вагона и места.

Чтобы пойти в гости к однокласснику, недостаточно знать только дом, в котором он живет, а нужно еще и знать номер квартиры.

Задание

1. Какими сведениями вы должны владеть, чтобы занять место в театре?
2. Какие данные нужно иметь, чтобы определить точки на земной поверхности?
3. По каким координатам можно определить место в кинотеатре?
4. Что необходимо знать, чтобы определелить положения фигуры на шахматной доске?
5. Какими координатами вы пользуетесь при игре в морской бой?

Историческая справка

Идея использования координат появилась еще в глубокой древности. Первоначально их применять начали астрономы, для определения небесных светил и географы – для определения местонахождения и объектов на поверхности Земли.

Благодаря трудам древнегреческого астронома Клавдия Плотомея уже во втором веке ученые научились определять долготу и широту.

А известно ли вам, почему в математике существует такое понятие, как «Декартова система координат»? Оказывается метод координат, который имеет общематематическое значение, был открыт французскими математиками Пьером Ферма и Рене Декартом в XVII в., а в 1637 году Рене Декарт впервые описал его в книге по геометрии.

А вот термины «абсцисса», «ордината» и «координаты» были впервые введены Вильгельмом Лейбницем в семнадцатом веке.

Домашнее задание:

Если построить на плоскости две взаимно перпендикулярные числовые оси : OX и OY , то они будут называться осями координат . Горизонтальная ось OX называется осью абсцисс (осью x ), вертикальная ось OY - осью ординат (осью y ).

Точка O , стоящая на пересечении осей, называется началом координат . Она является нулевой точкой для обеих осей. Положительные числа изображаются на оси абсцисс точками вправо, а на оси ординат - точками вверх от нулевой точки. Отрицательные числа изображаются точками влево и вниз от начала координат (точки O ). Плоскость, на которой лежат оси координат, называется координатной плоскостью .

Оси координат делят плоскость на четыре части, называемые четвертями или квадрантами . Принято эти четверти нумеровать римскими цифрами в том порядке, в котором они пронумерованы на чертеже.

Координаты точки на плоскости

Если взять на координатной плоскости произвольную точку A и провести от неё перпендикуляры к осям координат, то основания перпендикуляров лягут на два числа. Число, на которое указывает вертикальный перпендикуляр, называется абсциссой точки A . Число, на которое указывает горизонтальный перпендикуляр, - ординатой точки A .

На чертеже абсцисса точки A равна 3, а ордината 5.

Абсцисса и ордината называются координатами данной точки на плоскости.

Координаты точки записываются в скобках справа от обозначения точки. Первой записывается абсцисса, а за ней ордината. Так запись A (3; 5) обозначает, что абсцисса точки A равна трём, а ордината - пяти.

Координаты точки - это числа, определяющие её положение на плоскости.

Если точка лежит на оси абсцисс, то её ордината равна нулю (например, точка B с координатами -2 и 0). Если точка лежит на оси ординат, то её абсцисса равна нулю (например, точка C с координатами 0 и -4).

Начало координат - точка O - имеет и абсциссу и ординату равные нулю: O (0; 0).

Данная система координат называется прямоугольной или декартовой .

Основные сведения о координатной плоскости

Каждый объект (например, дом, место в зрительном зале, точка на карте) имеет свой упорядоченный адрес (координаты), который имеет числовое или буквенное обозначение.

Математики разработали модель, которая позволяет определять положение объекта и называется координатной плоскостью .

Чтобы построить координатную плоскость нужно провести $2$ перпендикулярные прямые , на конце которых указываются с помощью стрелок направления «вправо» и «вверх». На прямые наносятся деления, а точка пересечения прямых является нулевой отметкой для обеих шкал.

Определение 1

Горизонтальная прямая называется осью абсцисс и обозначается х, а вертикальная прямая называется осью ординат и обозначается у.

Две перпендикулярные оси х и у с делениями составляют прямоугольную , или декартовую , систему координат , которую предложил французский философ и математик Рене Декарт.

Координатная плоскость

Координаты точки

Точка на координатной плоскости определяется двумя координатами.

Чтобы определить координаты точки $A$ на координатной плоскости нужно через нее провести прямые, которые будут параллельны координатным осям (на рисунке выделены пунктирной линией). Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$ точки $A$, а пересечение с осью ординат дает координату у точки $A$. При записи координат точки сначала записывается координата $x$, а затем координата $y$.

Точка $A$ на рисунке имеет координаты $(3; 2)$, а точка $B (–1; 4)$.

Для нанесения точки на координатную плоскость действуют в обратном порядке.

Построение точки по заданным координатам

Пример 1

На координатной плоскости построить точки $A(2;5)$ и $B(3; –1).$

Решение .

Построение точки $A$:

• отложим число $2$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую;
• на оси у отложим число $5$ и проведем перпендикулярную оси $y$ прямую. На пересечении перпендикулярных прямых получим точку $A$ с координатами $(2; 5)$.

Построение точки $B$:

• отложим на оси $x$ число $3$ и проведем перпендикулярную оси х прямую;
• на оси $y$ отложим число $(–1)$ и проведем перпендикулярную оси $y$ прямую. На пересечении перпендикулярных прямых получим точку $B$ с координатами $(3; –1)$.

Пример 2

Построить на координатной плоскости точки с заданными координатами $C (3; 0)$ и $D(0; 2)$.

Решение .

Построение точки $C$:

• отложим число $3$ на оси $x$;
• координата $y$ равна нулю, значит точка $C$ будет лежать на оси $x$.

Построение точки $D$:

• отложим число $2$ на оси $y$;
• координата $x$ равна нулю, значит, точка $D$ будет лежать на оси $y$.

Замечание 1

Следовательно, при координате $x=0$ точка будет лежать на оси $y$, а при координате $y=0$ точка будет лежать на оси $x$.

Пример 3

Определить координаты точек A, B, C, D.$

Решение .

Определим координаты точки $A$. Для этого проведем через эту точку $2$ прямые, которые будут параллельными к координатным осям. Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$, пересечение прямой с осью ординат дает координату $y$. Таким образом, получаем, что точка $A (1; 3).$

Определим координаты точки $B$. Для этого проведем через эту точку $2$ прямые, которые будут параллельными к координатным осям. Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$, пересечение прямой с осью ординат дает координату $y$. Получаем, что точка $B (–2; 4).$

Определим координаты точки $C$. Т.к. она расположена на оси $y$, то координата $x$ этой точки равна нулю. Координата у равна $–2$. Таким образом, точка $C (0; –2)$.

Определим координаты точки $D$. Т.к. она находится на оси $x$, то координата $y$ равна нулю. Координата $x$ этой точки равна $–5$. Таким образом, точка $D (5; 0).$

Пример 4

Построить точки $E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0).$

Решение .

Построение точки $E$:

• отложим число $(–3)$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую;
• на оси $y$ отложим число $(–2)$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $y$;
• на пересечении перпендикулярных прямых получаем точку $E (–3; –2).$

Построение точки $F$:

• координата $y=0$, значит, точка лежит на оси $x$;
• отложим на оси $x$ число $5$ и получим точку $F(5; 0).$

Построение точки $G$:

• отложим число $3$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $x$;
• на оси $y$ отложим число $4$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $y$;
• на пересечении перпендикулярных прямых получаем точку $G(3; 4).$

Построение точки $H$:

• координата $x=0$, значит, точка лежит на оси $y$;
• отложим на оси $y$ число $(–4)$ и получим точку $H(0; –4).$

Построение точки $O$:

• обе координаты точки равны нулю, значит, точка лежит одновременно и на оси $y$, и на оси $x$, следовательно является точкой пересечения обеих осей (началом координат).

«прописаны» точки - «жильцы», у каждой точки есть свой «номер дома» - ее координата. Если же точка берется в плоскости, то для ее «прописки» нужно указывать не только «номер дома», но и «номер квартиры». Напомним, как это делается.

Проведем две взаимно-перпендикулярные координатные прямые и будем считать началом отсчета на обеих прямых точку их пересечения - точку О. Тем самым на плоскости задана прямоугольная система координат (рис. 20), которая превращает обычную плоскость в координатную. Точку О называют началом координат, координатные прямые (ось х и ось у) называют осями координат, а прямые углы, образованные осями координат, называют координатными углами. Координатные прямоугольная углы нумеруют так, как показано на рисунке 20.

А теперь обратимся к рисунку 21, где изображена прямоугольная система координат и отмечена точка М. Проведем через нее прямую, параллельную оси у. Прямая пересекает ось х в некоторой точке, у этой точки есть координата - на оси х. Для точки, изображенной на рисунке 21, эта координата равна -1,5, ее называют абсциссой точки М. Далее проведем через точку М прямую, параллельную оси х. Прямая пересекает ось у в некоторой точке, у этой точки есть координата - на оси у.

Для точки М, изображенной на рисунке 21, эта координата равна 2, ее называют ординатой точки М. Коротко пишут так: М(-1,5; 2). Абсциссу записывают на первом месте, ординату - на втором. Используют, если в этом есть необходимость, и другую форму записи: х = -1,5; у = 2.

Замечание 1 . На практике для отыскания координат точки М обычно вместо прямых, параллельных осям координат и проходящих через точку М, строят отрезки этих прямых от точки М до осей координат (рис. 22).

Замечание 2. В предыдущем параграфе мы ввели разные обозначения для числовых промежутков. В частности, как мы условились, запись (3, 5) означает, что на координатной прямой рассматривается интервал с концами в точках 3 и 5. В настоящем же параграфе пару чисел мы рассматриваем как координаты точки; например, (3; 5) - это точка на координатной плоскости с абсциссой 3 и ординатой 5. Как же правильно по символической записи определить, о чем идет речь: об интервале или о координатах точки? Чаще всего это бывает ясно по тексту. А если не ясно? Обратите внимание на одну деталь: в обозначении интервала мы использовали запятую, а в обозначении координат - точку с запятой. Это, конечно, не очень существенное, но все-таки различие; будем его применять.

Учитывая введенные термины и обозначения, горизонтальную координатную прямую называют абсцисс, или осью х, а вертикальную координатную прямую - осью ординат, или осью у. Обозначения х, у используют обычно при задании на плоскости прямоугольной системы координат (см. рис. 20) и часто говорят так: дана система координат хОу. Впрочем, встречаются и другие обозначения: например, на рисунке 23 задана система координат tOs.
Алгоритм отыскания координат точки М, заданной в прямоугольной системе координат хОу

Именно так мы и действовали, находя координаты точки М на рисунке 21. Если точка М 1 (х; у) принадлежит первому координатному углу, то х > 0, у > 0; если точка М 2 (х; у) принадлежит второму координатному углу, то х < 0, у > 0; если точка М 3 (х; у) принадлежит третьему координатному углу, то х < О, у < 0; если точка М 4 (х; у) принадлежит четвертому координатному углу, то х > О, у < 0 (рис. 24).

А что будет, если точка, координаты которой надо найти, лежит на одной из осей координат? Пусть точка А лежит на оси х, а точка В - на оси у (рис. 25). Проводить через точку А прямую, параллельную оси у, и находить точку пересечения этой прямой с осью х не имеет смысла, поскольку такая точка пересечения уже есть - это точка А, ее координата (абсцисса) равна 3. Точно так же не нужно проводить через точку А прямую, параллельную оси х, - этой прямой является сама ось х, которая пересекает ось у в точке О с координатой (ординатой) 0. В итоге для точки А получаем А(3; 0). Аналогично для точки В получаем В(0; - 1,5). А для точки О имеем О(0; 0).

Вообще, любая точка на оси х имеет координаты (х; 0), а любая точка на оси у - координаты (0; у)

Итак, как находить координаты точки в координатной плоскости, мы обсудили. А как решать обратную задачу, т. е. как, задав координаты, построить соответствующую точку? Чтобы выработать алгоритм, проведем два вспомогательных, но в то же время важных рассуждения.

Первое рассуждение. Пусть в системе координат хОу проведена I, параллельная оси у и пересекающая ось х в точке с координатой (абсциссой) 4

(рис. 26). Любая точка, лежащая на этой прямой, имеет абсциссу 4. Так, для точек М 1 , М 2 , М 3 имеем М 1 (4; 3), М 2 (4; 6), М 3 (4; - 2). Иными словами, абсцисса любой точки М прямой удовлетворяет условию х = 4. Говорят, что х = 4 - уравнение прямой l или что прямая I удовлетворяет уравнению х = 4.

На рисунке 27 изображены прямые, удовлетворяющие уравнениям х = - 4 (прямая I 1), x = - 1
(прямая I 2) x = 3,5 (прямаяI 3). А какая прямая удовлетворяет уравнению х = 0? Догадались? Ось у.

Второе рассуждение. Пусть в системе координат хОу проведена прямая I, параллельная оси х и пересекающая ось у в точке с координатой (ординатой) 3 (рис. 28). Любая точка, лежащая на этой прямой, имеет ординату 3. Так, для точек М 1 , М 2 , М 3 имеем: М 1 (0; 3), М 2 (4; 3), М 3 (- 2; 3). Иными словами, ордината любой точки М прямой I удовлетворяет условию у = 3. Говорят, что у = 3 - уравнение прямой I или что прямая I удовлетворяет уравнению у = 3.

На рисунке 29 изображены прямые, удовлетворяющие уравнениям у = - 4 (прямая l 1), у = - 1 (прямая I 2), у = 3,5 (прямая I 3)- A какая прямая удовлетворяет уравнению у = 01 Догадались? Ось х.

Заметим, что математики, стремясь к краткости речи, говорят «прямая х = 4», а не «прямая, удовлетворяющая уравнению х = 4». Аналогично, они говорят «прямая у = 3», а не «прямая, удовлетворяющая равнению у = 3 ». Мы будем поступать точно так же. Вернемся теперь к рисунку 21. Обратите внимание, что точка М (- 1,5; 2), которая там изображена, есть точка пересечения прямой х = -1,5 и прямой у = 2. Теперь, видимо, будет понятен алгоритм построения точки по заданным ее координатам.

Алгоритм построения точки М (а; Ь) в прямоугольной системе координат хОу

П р и м е р. В системе координат хОу построить точки: А (1; 3), В (- 2; 1), С (4; 0), D (0; - 3).

Решение. Точка А есть точка пересечения прямых х = 1 и у = 3 (см. рис. 30).

Точка В есть точка пересечения прямых x = - 2 и y = 1 (рис. 30). Точка С принадлежит оси х, а точка D - оси у (см. рис. 30).

В заключение параграфа заметим, что впервые прямоугольную систему координат на плоскости стал активно использовать для замены алгебраических моделей геометрическими французский философ Рене Декарт (1596-1650). Поэтому иногда говорят «декартова система координат», «декартовы координаты».

Полный перечень тем по классам, календарный план согласно школьной программе по математике онлайн , видеоматериал по математике для 7 класса скачать

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки