Приводится формула Лейбница для вычисления n-й производной произведения двух функций. Дано ее доказательство двумя способами. Рассмотрен пример вычисления производной n-го порядка.

Содержание

См. также: Производная произведения двух функций

Формула Лейбница

С помощью формулы Лейбница можно вычислить производную n-го порядка от произведения двух функций. Она имеет следующий вид:
(1) ,
где
- биномиальные коэффициенты.

Биномиальные коэффициенты являются коэффициентами разложения бинома по степеням и :
.
Также число является числом сочетаний из n по k .

Доказательство формулы Лейбница

Применим формулу производной произведения двух функций :
(2) .
Перепишем формулу (2) в следующем виде:
.
То есть мы считаем, что одна функция зависит от переменной x , а другая - от переменной y . В конце расчета мы полагаем . Тогда предыдущую формулу можно записать так:
(3) .
Поскольку производная равна сумме членов, и каждый член является произведением двух функций, то для вычисления производных высших порядков, можно последовательно применять правило (3).

Тогда для производной n-го порядка имеем:

.
Учитывая, что и , мы получаем формулу Лейбница:
(1) .

Доказательство методом индукции

Приведем доказательство формулы Лейбница методом математической индукции.

Еще раз выпишем формулу Лейбница:
(4) .
При n = 1 имеем:
.
Это формула производной произведения двух функций. Она справедлива.

Предположим, что формула (4) справедлива для производной n -го порядка. Докажем, что она справедлива для производной n + 1 -го порядка.

Дифференцируем (4):
;



.
Итак, мы нашли:
(5) .

Подставим в (5) и учтем, что :

.
Отсюда видно, что формула (4) имеет тот же вид и для производной n + 1 -го порядка.

Итак, формула (4) справедлива при n = 1 . Из предположения, что она выполняется, для некоторого числа n = m следует, что она выполняется для n = m + 1 .
Формула Лейбница доказана.

Пример

Вычислить n-ю производную функции
.

Применим формулу Лейбница
(2) .
В нашем случае
;
.

По таблице производных имеем:
.
Применяем свойства тригонометрических функций :
.
Тогда
.
Отсюда видно, что дифференцирование функции синус приводит к ее сдвигу на . Тогда
.

Находим производные от функции .
;
;
;
, .

Поскольку при , то в формуле Лейбница отличны от нуля только первые три члена. Находим биномиальные коэффициенты.
;
.

По формуле Лейбница имеем:

.

См. также:

Производные высших порядков

На данном уроке мы научимся находить производные высших порядков, а также записывать общую формулу «энной» производной. Кроме того, будет рассмотрена формула Лейбница таковой производной и по многочисленным просьбам – производные высших порядков от неявно заданной функции . Предлагаю сразу же пройти мини-тест:

Вот функция: и вот её первая производная:

В том случае, если у вас возникли какие-либо трудности/недопонимание по поводу этого примера, пожалуйста, начните с двух базовых статей моего курса: Как найти производную? и Производная сложной функции . После освоения элементарных производных рекомендую ознакомиться с уроком Простейшие задачи с производной , на котором мы разобрались, в частности со второй производной .

Нетрудно даже догадаться, что вторая производная – это производная от 1-й производной:

В принципе, вторую производную уже считают производной высшего порядка.

Аналогично: третья производная – это производная от 2-й производной:

Четвёртная производная – есть производная от 3-й производной:

Пятая производная: , и очевидно, что все производные более высоких порядков тоже будут равны нулю:

Помимо римской нумерации на практике часто используют следующие обозначения:
, производную же «энного» порядка обозначают через . При этом надстрочный индекс нужно обязательно заключать в скобки – чтобы отличать производную от «игрека» в степени.

Иногда встречается такая запись: – третья, четвёртая, пятая, …, «энная» производные соответственно.

Вперёд без страха и сомнений:

Пример 1

Дана функция . Найти .

Решение : что тут попишешь… – вперёд за четвёртой производной:)

Четыре штриха ставить уже не принято, поэтому переходим на числовые индексы:

Ответ :

Хорошо, а теперь задумаемся над таким вопросом: что делать, если по условию требуется найти не 4-ю, а например, 20-ю производную? Если для производной 3-4-5-го (максимум, 6-7-го) порядка решение оформляется достаточно быстро, то до производных более высоких порядков мы «доберёмся» ой как не скоро. Не записывать же, в самом деле, 20 строк! В подобной ситуации нужно проанализировать несколько найдённых производных, увидеть закономерность и составить формулу «энной» производной . Так, в Примере №1 легко понять, что при каждом следующем дифференцировании перед экспонентой будет «выскакивать» дополнительная «тройка», причём на любом шаге степень «тройки» равна номеру производной, следовательно:

Где – произвольное натуральное число.

И действительно, если , то получается в точности 1-я производная: , если – то 2-я: и т.д. Таким образом, двадцатая производная определяется мгновенно: – и никаких «километровых простыней»!

Разогреваемся самостоятельно:

Пример 2

Найти функции . Записать производную порядка

Решение и ответ в конце урока.

После бодрящей разминки рассмотрим более сложные примеры, в которых отработаем вышеприведённый алгоритм решения. Тем, кто успел ознакомиться с уроком Предел последовательности , будет чуть легче:

Пример 3

Найти для функции .

Решение : чтобы прояснить ситуацию найдём несколько производных:

Полученные числа перемножать не спешим! ;-)


Пожалуй, хватит. …Даже немного переборщил.

На следующем шаге лучше всего составить формулу «энной» производной (коль скоро, условие этого не требует, то можно обойтись черновиком) . Для этого смотрим на полученные результаты и выявляем закономерности, с которыми получается каждая следующая производная.

Во-первых, они знакочередуются. Знакочередование обеспечивает «мигалка» , и поскольку 1-я производная положительна, то в общую формулу войдёт следующий множитель: . Подойдёт и эквивалентный вариант , но лично я, как оптимист, люблю знак «плюс» =)

Во-вторых, в числителе «накручивается» факториал , причём он «отстаёт» от номера производной на одну единицу:

И в-третьих, в числителе растёт степень «двойки», которая равна номеру производной. То же самое можно сказать о степени знаменателя. Окончательно:

В целях проверки подставим парочку значений «эн», например, и :

Замечательно, теперь допустить ошибку – просто грех:

Ответ :

Более простая функция для самостоятельного решения:

Пример 4

Найти функции .

И задачка позанятнее:

Пример 5

Найти функции .

Ещё раз повторим порядок действий:

1) Сначала находим несколько производных. Чтобы уловить закономерности обычно хватает трёх-четырёх.

2) Затем настоятельно рекомендую составить (хотя бы на черновике) «энную» производную – она гарантированно убережёт от ошибок. Но можно обойтись и без , т.е. мысленно прикинуть и сразу записать, например, двадцатую или восьмую производную. Более того, некоторые люди вообще способны решить рассматриваемые задачи устно. Однако следует помнить, что «быстрые» способы чреваты, и лучше перестраховаться.

3) На заключительном этапе выполняем проверку «энной» производной – берём пару значений «эн» (лучше соседних) и выполняем подстановку. А ещё надёжнее – проверить все найдённые ранее производные. После чего подставляем в нужное значение, например, или и аккуратно причёсываем результат.

Краткое решение 4 и 5-го примеров в конце урока.

В некоторых задачах, во избежание проблем, над функцией нужно немного поколдовать:

Пример 6

Решение : дифференцировать предложенную функцию совсем не хочется, поскольку получится «плохая» дробь, которая сильно затруднит нахождение последующих производных.

В этой связи целесообразно выполнить предварительные преобразования: используем формулу разности квадратов и свойство логарифма :

Совсем другое дело:

И старые подруги:

Думаю, всё просматривается. Обратите внимание, что 2-я дробь знакочередуется, а 1-я – нет. Конструируем производную порядка:

Контроль:

Ну и для красоты вынесем факториал за скобки:

Ответ :

Интересное задание для самостоятельного решения:

Пример 7

Записать формулу производной порядка для функции

А сейчас о незыблемой круговой поруке, которой позавидует даже итальянская мафия:

Пример 8

Дана функция . Найти

Восемнадцатая производная в точке . Всего-то.

Решение : сначала, очевидно, нужно найти . Поехали:

С синуса начинали, к синусу и пришли. Понятно, что при дальнейшем дифференцировании этот цикл будет продолжаться до бесконечности, и возникает следующий вопрос: как лучше «добраться» до восемнадцатой производной?

Способ «любительский»: быстренько записываем справа в столбик номера последующих производных:

Таким образом:

Но это работает, если порядок производной не слишком велик. Если же надо найти, скажем, сотую производную, то следует воспользоваться делимостью на 4 . Сто делится на 4 без остатка, и легко видеть, что таковые числа располагаются в нижней строке, поэтому: .

Кстати, 18-ю производную тоже можно определить из аналогичных соображений:
во второй строке находятся числа, которые делятся на 4 с остатком 2.

Другой, более академичный метод основан на периодичности синуса и формулах приведения . Пользуемся готовой формулой «энной» производной синуса , в которую просто подставляется нужный номер. Например:
(формула приведения ) ;
(формула приведения )

В нашем случае:

(1) Поскольку синус – это периодическая функция с периодом , то у аргумента можно безболезненно «открутить» 4 периода (т.е. ).

Производную порядка от произведения двух функций можно найти по формуле:

В частности:

Специально запоминать ничего не надо, ибо, чем больше формул знаешь – тем меньше понимаешь. Гораздо полезнее ознакомиться с биномом Ньютона , поскольку формула Лейбница очень и очень на него похожа. Ну а те везунчики, которым достанется производная 7-го либо более высоких порядков (что, правда, маловероятно) , будут вынуждены это сделать. Впрочем, когда черёд дойдёт до комбинаторики – то всё равно придётся =)

Найдём третью производную функции . Используем формулу Лейбница:

В данном случае: . Производные легко перещёлкать устно:

Теперь аккуратно и ВНИМАТЕЛЬНО выполняем подстановку и упрощаем результат:

Ответ :

Аналогичное задание для самостоятельного решения:

Пример 11

Найти функции

Если в предыдущем примере решение «в лоб» ещё конкурировало с формулой Лейбница, то здесь оно уже будет действительно неприятным. И ещё неприятнее – в случае более высокого порядка производной:

Пример 12

Найти производную указанного порядка

Решение : первое и существенное замечание – решать вот так , наверное, не нужно =) =)

Запишем функции и найдём их производные до 5-го порядка включительно. Предполагаю, что производные правого столбца стали для вас устными:

В левом же столбце «живые» производные быстро «закончились» и это очень хорошо – в формуле Лейбница обнулятся три слагаемых:

Вновь остановлюсь на дилемме, которая фигурировала в статье о сложных производных : упрощать ли результат? В принципе, можно оставить и так – преподавателю будет даже легче проверять. Но он может потребовать довести решение до ума. С другой стороны, упрощение по собственной инициативе чревато алгебраическими ошибками. Однако у нас есть ответ, полученный «первобытным» способом =) (см. ссылку в начале) , и я надеюсь, он правильный:

Отлично, всё сошлось.

Ответ :

Счастливое задание для самостоятельного решения:

Пример 13

Для функции :
а) найти непосредственным дифференцированием;
б) найти по формуле Лейбница;
в) вычислить .

Нет, я вовсе не садист – пункт «а» здесь достаточно прост =)

А если серьёзно, то «прямое» решение последовательным дифференцированием тоже имеет «право на жизнь» – в ряде случаев его сложность сопоставима со сложностью применения формулы Лейбница. Используйте, если сочтёте целесообразным – это вряд ли будет основанием для незачёта задания.

Краткое решение и ответ в конце урока.

Чтобы поднять заключительный параграф нужно уметь дифференцировать неявные функции :

Производные высших порядков от функций, заданных неявно

Многие из нас потратили долгие часы, дни и недели жизни на изучение окружностей , парабол , гипербол – а иногда это вообще казалось сущим наказанием. Так давайте же отомстим и продифференцируем их как следует!

Начнём со «школьной» параболы в её каноническом положении :

Пример 14

Дано уравнение . Найти .

Решение : первый шаг хорошо знаком:

То, что функция и её производная выражены неявно сути дела не меняет, вторая производная – это производная от 1-й производной:

Однако свои правила игры существуют: производные 2-го и более высоких порядков принято выражать только через «икс» и «игрек» . Поэтому в полученную 2-ю производную подставим :

Третья производная – есть производная от 2-й производной:

Аналогично, подставим :

Ответ :

«Школьная» гипербола в каноническом положении – для самостоятельной работы:

Пример 15

Дано уравнение . Найти .

Повторяю, что 2-ю производную и результат следует выразить только через «икс»/«игрек»!

Краткое решение и ответ в конце урока.

После детских шалостей посмотрим немецкую поpнoгр@фию рассмотрим более взрослые примеры, из которых узнаем ещё один важный приём решения:

Пример 16

Эллипс собственной персоной.

Решение : найдём 1-ю производную:

А теперь остановимся и проанализируем следующий момент: сейчас предстоит дифференцировать дробь, что совсем не радует. В данном случае она, конечно, проста, но в реально встречающихся задачах таких подарков раз два и обчёлся. Существует ли способ избежать нахождения громоздкой производной? Существует! Берём уравнение и используем тот же самый приём, что и при нахождении 1-й производной – «навешиваем» штрихи на обе части:

Вторая производная должна быть выражена только через и , поэтому сейчас (именно сейчас) удобно избавиться от 1-й производной. Для этого в полученное уравнение подставим :

Чтобы избежать лишних технических трудностей, умножим обе части на :

И только на завершающем этапе оформляем дробь:

Теперь смотрим на исходное уравнение и замечаем, что полученный результат поддаётся упрощению:

Ответ :

Как найти значение 2-й производной в какой-либо точке (которая, понятно, принадлежит эллипсу) , например, в точке ? Очень легко! Этот мотив уже встречался на уроке об уравнении нормали : в выражение 2-й производной нужно подставить :

Безусловно, во всех трёх случаях можно получить явно заданные функции и дифференцировать их, но тогда морально настройтесь работать с двумя функциями, которые содержат корни. На мой взгляд, решение удобнее провести «неявным путём».

Заключительный пример для самостоятельного решения:

Пример 17

Найти неявно заданной функции

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

"Тоже мне, бином Ньютона! »

из романа «Мастер и Маргарита»

«Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В то же время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике»

Мартин Гарднер.

Цель работы: обобщить формулы сокращенного умножения, показать их применение к решению задач.

Задачи:

1) изучить и систематизировать информацию по данному вопросу;

2) разобрать примеры задач на применение бинома Ньютона и формул суммы и разности степеней.

Объекты исследования: бином Ньютона, формулы суммы и разности степеней.

Методы исследования:

Работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами сети Интернет.

Расчеты, сравнение, анализ, аналогия.

Актуальность. Человеку часто приходится иметь дело с задачами, в которых нужно подсчитать число всех возможных способов расположения некоторых предметов или число всех возможных способов осуществления некоторого действия. Разные пути или варианты, которые приходится выбирать человеку, складываются в самые разнообразные комбинации. И целый раздел математики, называемый комбинаторикой, занят поиском ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или другом случае.

С комбинаторными величинами приходится иметь дело представителям многих специальностей: ученому-химику, биологу, конструктору, диспетчеру и т. п. Усиление интереса к комбинаторике в последнее время обуславливается бурным развитием кибернетики и вычислительной техники.

Введение

Когда хотят подчеркнуть, что собеседник преувеличивает сложность задач, с которыми он столкнулся, говорят: «Тоже мне бином Ньютона!» Дескать, вот бином Ньютона, это сложно, а у тебя какие проблемы! О биноме Ньютона слышали даже те люди, чьи интересы никак не связаны с математикой.

Слово «бином» означает двучлен, т.е. сумму двух слагаемых. Из школьного курса известны так называемые формулы сокращенного умножения:

( а + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , (a + b) 3 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .

Обобщением этих формул является формула, называемая формулой бинома Ньютона. Используются в школе и формулы разложения на множители разности квадратов, суммы и разности кубов. Имеют ли они обобщение для других степеней? Да, есть такие формулы, они часто используются в решении различных задач: на доказательство делимости, сокращение дробей, приближенные вычисления.

Изучение обобщающих формул развивает дедуктивно-математическое мышление и общие мыслительные способности.

РАЗДЕЛ 1. ФОРМУЛА БИНОМА НЬЮТОНА

Сочетания и их свойства

Пусть X - множество, состоящее из n элементов. Любое подмножество Y множества X , содержащее k элементов, называется сочетанием k элементов из n , при этом, k ≤ n .

Число различных сочетаний k элементов из n обозначается С n k . Одной из важнейших формул комбинаторики является следующая формула для числа С n k :

Её можно записать после очевидных сокращений следующим образом:

В частности,

Это вполне согласуется с тем, что в множестве X имеется только одно подмножество из 0 элементов - пустое подмножество.

Числа C n k обладают рядом замечательных свойств.

Справедлива формула С n k = С n - k n , (3)

Смысл формулы (3) состоит в том, что имеется взаимно-однозначное соответствие между множеством всех k-членных подмножеств из X и множеством всех (n - k )-членных подмножеств из X: чтобы установить это соответствие, достаточно каждому k-членному подмножеству Y сопоставить его дополнение в множестве X.

Справедлива формула С 0 n + С 1 n + С 2 n + … + С n n = 2 n (4)

Сумма, стоящая в левой части, выражает собой число всех подмножеств множества X (C 0 n есть число 0-членных подмножеств, C 1 n - число одночленных подмножеств и т.д.).

При любом k, 1≤ k≤ n , справедливо равенство

C k n = C n -1 k + C n -1 k -1 (5)

Это равенство нетрудно получить с помощью формулы (1). В самом деле,

1.2. Вывод формулы бинома Ньютона

Рассмотрим степени двучлена а + b .

n = 0, (а + b ) 0 = 1

n = 1, (а + b ) 1 = 1а+1 b

n = 2, (а + b ) 2 = 1а 2 + 2а b +1 b 2

n = 3, (а + b ) 3 = 1 а 3 + 3а 2 b + 3а b 2 +1 b 3

n = 4, (а + b ) 4 = 1а 4 + 4а 3 b + 6а 2 b 2 +4а b 3 +1 b 4

n = 5, (а + b ) 5 = 1а 5 + 5а 4 b + 10а 3 b 2 + 10а 2 b 3 + 5а b 4 + 1 b 5

Заметим следующиезакономерности:

Число членов получаемого многочлена на единицу больше показателя степени бинома;

Показатель степени первого слагаемого убывает от n до 0, показатель степени второго слагаемого возрастает от 0 до n;

Степени всех одночленов равны степени двучлена в условии;

Каждый одночлен является произведением первого и второго выражения в различных степенях и некоторого числа - биноминального коэффициента;

Биноминальные коэффициенты, равноотстоящие от начала и конца разложения, равны.

Обобщением этих формул является следующая формула, называемая формулой бинома Ньютона:

(a + b ) n = C 0 n a n b 0 + C 1 n a n -1 b + C 2 n a n -2 b 2 + ... + C n -1 n ab n -1 + C n n a 0 b n . (6)

В этой формуле n может быть любым натуральным числом.

Выведем формулу(6). Прежде всего, запишем:

(a + b ) n = (a + b )(a + b ) ... (a + b ), (7)

где число перемножаемых скобок равно n . Из обычного правила умножения суммы на сумму вытекает, что выражение (7) равно сумме всевозможных произведений, которые можно составить следующим образом: любое слагаемое первой из сумм а + b умножается на любое слагаемое второй суммы a +b , на любое слагаемое третьей суммы и т.д.

Из сказанного ясно, что слагаемым в выражении для (a + b ) n соответствуют (взаимно-однозначно) строки длиной n, составленные из букв а и b. Среди слагаемых будут встречаться подобные члены; очевидно, что таким членам соответствуют строки, содержащие одинаковое количество букв а . Но число строк, содержащих ровно k раз букву а , равно С n k . Значит, сумма всех членов, содержащих букву а множителем ровно k раз, равна С n k a n - k b k . Поскольку k может принимать значения 0, 1, 2, …, n-1, n, то из нашего рассуждения следует формула (6). Заметим, что (6) можно записать короче: (8)

Хотя формулу (6) называют именем Ньютона, в действительности она была открыта ещё до Ньютона (например, её знал Паскаль). Заслуга Ньютона состоит в том, что он нашёл обобщение этой формулы на случай не целых показателей. Именно И.Ньютон в 1664-1665 гг. вывел формулу, выражающую степень двучлена для произвольных дробных и отрицательных показателей.

Числа С 0 n , C 1 n , ..., C n n , входящие в формулу (6), принято называть биномиальными коэффициентами, которые определяются так:

Из формулы (6) можно получить целый ряд свойств этих коэффициентов. Например, полагая а =1, b = 1, получим:

2 n = C 0 n + C 1 n + C 2 n + C 3 n + ... +C n n ,

т.е. формулу (4). Если положить а = 1, b = -1, то будем иметь:

0 = С 0 n - C 1 n + C 2 n - C 3 n + ... + (-1) n C n n

или С 0 n + C 2 n + C 4 n + ... = C 1 n + C 3 n + + C 5 n + ... .

Это значит, что сумма коэффициентов чётных членов разложения равна сумме коэффициентов нечётных членов разложения; каждая из них равна 2 n -1 .

Коэффициенты членов, равноудалённых от концов разложения, равны. Это свойства следует из соотношения: С n k = С n n - k

Интересен частный случай

(x + 1) n = C 0 n x n + C 1 n x n-1 + ... + C k n x n - k + ... + C n n x 0

или короче (x +1) n = ∑C n k x n - k .

1.3. Полиномиальная теорема

Теорема.

Доказательство.

Чтобы после раскрытия скобок получился одночлен, нужно выбрать те скобок, из которых берется, те скобок, из которых берется и т.д. и те скобок, из которых берется. Коэффициент при этом одночлене после приведения подобных членов равен числу способов , которыми можно осуществить такой выбор. Первый шаг последовательности выборов можно осуществить способами, второй шаг — , третий — и т.д., -й шаг — способами. Искомый коэффициент равен произведению

РАЗДЕЛ 2. Производные высших порядков.

Понятие производных высших порядков.

Пусть функция дифференцируема в некотором интервале. Тогда её производная, вообще говоря, зависит от х , то есть является функцией от х . Следовательно, по отношению к ней снова можно ставить вопрос о существовании производной.

Определение . Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной и обозначается символом или, то есть

Определение . Производная от второй производной называется производной третьего порядка или третьей производной и обозначается символом или.

Определение . Производной n -ого порядка функции называется первая производная от производной (n -1)-го порядка данной функции и обозначается символом или:

Определение . Производные порядка выше первого называются высшими производными.

Замечание . Аналогично можно получить формулу n -ой производной функции:

Вторая производная параметрически заданной функции

Если функция задана параметрически уравнениями, то для нахождения производной второго порядка нужно продифференцировать выражение для её первой производной, как сложной функции независимой переменной.

Так как, то

и с учетом того, что,

Получим, то есть.

Аналогично можно найти третью производную.

Дифференциал суммы, произведения и частного.

Так как дифференциал получается из производной умножением её на дифференциал независимой переменной, то, зная производные основных элементарных функций, а также правила для отыскания производных, можно прийти к аналогичным правилам для отыскания дифференциалов.

1 0 . Дифференциал постоянной равен нулю .

2 0 . Дифференциал алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равен алгебраической сумме дифференциалов этих функций .

3 0 . Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен сумме произведений первой функции на дифференциал второй и второй функции на дифференциал первой .

Следствие . Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала.

2.3. Функции, заданные параметрически, их дифференцирование.

Определение . Функция называется заданной параметрически, если обе переменные х и у определяются каждая в отдельности как однозначные функции от одной и той же вспомогательной переменной - параметра t :

где t изменяется в пределах.

Замечание . Приведем параметрические уравнения окружности и эллипса.

а) Окружность с центром в начале координат и радиусом r имеет параметрические уравнения:

б) Запишем параметрические уравнения для эллипса:

Исключив параметр t из параметрических уравнений рассматриваемых линий, можно прийти к их каноническим уравнениям.

Теорема . Если функция у от аргумента х задана параметрически уравнениями, где и дифференцируемые по t функции и, то.

2.4. Формула Лейбница

Для нахождения производной n -ого порядка от произведения двух функций большое практическое значение имеет формула Лейбница.

Пусть u иv - некоторые функции от переменной х , имеющие производные любого порядка и y = uv . Выразим n -ую производную через производные функций u иv .

Имеем последовательно

Легко подметить аналогию между выражениями для второй и третьей производных и разложением бинома Ньютона соответственно во второй и третьей степенях, но вместо показателей степени стоят числа, определяющие порядок производной, а сами функции можно рассматривать как «производные нулевого порядка». Учитывая это, получим формулу Лейбница:

Эту формулу можно доказать методом математической индукции.

РАЗДЕЛ 3. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ ЛЕЙБНИЦА.

Для вычисления производной любого порядка от произведения двух функций, минуя последовательное применение формулы вычисления производной от произведения двух функций, применяется формула Лейбница .

С помощью этой формулы рассмотрим примеры вычисления производной n-го порядка от произведения двух функций.

Пример 1.

Найти производную второго порядка функции

Согласно определению, вторая производная - это первая производная от первой производной, то есть

Поэтому сначала найдем производную первого порядка от заданной функции согласно правилам дифференцирования и используя таблицу производных :

Теперь найдем производную от производной первого порядка. Это будет искомая производная второго порядка:

Ответ:

Пример 2.

Найти производную -го порядка функции

Решение.

Будем последовательно находить производные первого, второго, третьего и так далее порядков заданной функции для того, чтобы установить закономерность, которую можно будет обобщить на -ую производную.

Производную первого порядка находим как производную частного :

Здесь выражение называется факториалом числа. Факториал числа равен произведению чисел от одного до, то есть

Производная второго порядка есть первая производная от первой производной, то есть

Производная третьего порядка:

Четвертая производная:

Заметим закономерность: в числителе стоит факториал числа, которое равно порядку производной, а в знаменателе выражение в степени на единицу больше, чем порядок производной, то есть

Ответ.

Пример 3.

Найти значение третьей производной функции в точке.

Решение.

Согласно таблице производных высших порядков , имеем:

В рассматриваемом примере, то есть получаем

Заметим, что подобный результат можно было бы получить и при последовательном нахождении производных.

В заданной точке третья производная равна:

Ответ:

Пример 4.

Найти вторую производную функции

Решение. Для начала найдем первую производную:

Для нахождения второй производной продифференцируем выражение для первой производной еще раз:

Ответ:

Пример 5.

Найти, если

Так как заданная функция представляет собой произведение двух функций, то для нахождения производной четвертого порядка целесообразно будет применить формулу Лейбница:

Найдем все производные и посчитаем коэффициенты при слагаемых.

1) Посчитаем коэффициенты при слагаемых:

2) Найдем производные от функции:

3) Найдем производные от функции:

Ответ:

Пример 6.

Дана функция y=x 2 cos3x. Найти производную третьего порядка.

Пусть u=cos3x , v=x 2 . Тогда по формуле Лейбница находим:

Производные в этом выражении имеют вид:

(cos3x)′=−3sin3x,

(cos3x)′′=(−3sin3x)′=−9cos3x,

(cos3x)′′′=(−9cos3x)′=27sin3x,

(x2)′=2x,

(x2)′′=2,

(x2)′′′=0.

Следовательно, третья производная заданной функции равна

1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2+3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x+3 ⋅ (−3sin3x) ⋅ 2+1 ⋅ cos3x ⋅ 0

27x2sin3x−54xcos3x−18sin3x=(27x2−18)sin3x−54xcos3x.

Пример 7.

Найти производную n -го порядка функции y=x 2 cosx.

Воспользуемся формулой Лейбница, полагая u=cosx , v=x 2 . Тогда

Остальные члены ряда равны нулю, поскольку (x2)(i)=0 при i>2.

Производная n -го порядка функции косинус:

Следовательно, производная нашей функции равна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В школе изучаются и используются так называемые формулы сокращенного умножения: квадраты и кубы суммы и разности двух выражений и формулы разложения на множители разности квадратов, суммы и разности кубов двух выражений. Обобщением этих формул является формула, называемая формулой бинома Ньютона и формулы разложения на множители суммы и разности степеней. Эти формулы часто используются в решении различных задач: на доказательство делимости, сокращение дробей, приближенные вычисления. Рассмотрены интересные свойства треугольника Паскаля, которые тесно связаны с биномом Ньютона.

В работе систематизирована информация по теме, приведены примеры задач на применение бинома Ньютона и формул суммы и разности степеней. Работа может быть использована в работе математического кружка, а также для самостоятельного изучения теми, кто увлекается математикой.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1.Виленкин Н.Я. Комбинаторика.- изд. "Наука". - М., 1969 г.

2. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. организаций базовый и углубленный уровни - М.: Просвещение, 2014. - 431 с.

3.Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей. 7-9 кл./ автор - составитель В.Н. Студенецкая. - изд. 2-е., испр., - Волгоград: Учитель, 2009 г.

4.Савушкина И.А., Хугаев К.Д., Тишкин С.Б. Алгебраические уравнения высших степеней /методическое пособие для слушателей межвузовского подготовительного отделения. - Санкт-Петербург, 2001.

5.Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач. Учебное пособие для 10 кл. средней школы. - М.: Просвещение, 1989.

6.Наука и жизнь, Бином Ньютона и треугольник Паскаля [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/